无缘无故的爱:爱の数学推导

利维坦按:抛一次硬币,正面朝上的概率是多少?中学时代老师会告诉你,可以抛一百次硬币来估算每次抛硬币结果的概率,抛两百次的话你的估算结果会更准确。但如果让你预测某场足球赛某一方获胜的概率呢?我们总不能让双方先来个一百局比赛,再去评估某一方获胜的概率吧。

这个时候我们就会需要信息。我们会尽可能去获取关于两支球队过往所有比赛的胜负率,个体球员的表现等等所有能够帮助我们计算获胜概率的信息,然后再综合所有信息提供的参考价值,计算出一个概率值。

这是两种截然不同的看到事件发生概率的方式。前者我们称之为频率论,而后者我们就需要用到贝叶斯概率(Bayesian probability)理论。用一句话讲,贝叶斯概率理论就是通过信息获取来提高概率计算的准确度。之于爱情,贝叶斯概率论依然适用。

无缘无故的爱:爱の数学推导

《街上的一对情侣》(The Couple in the Street,1887),查尔斯·安格朗(Charles Angrand)作。图源:Musée d’Orsay/Wikipedia

此时此刻,在广袤大地上的无数卧室里,痴男怨女们正在为爱情哀叹。爱情很重要,许多人等待着它的降临,或是期望着出门遇见爱,还有人让自己的一生围着爱情转。但爱情究竟是什么呢?在这篇文章里,我将仔细阐述我本人发现爱情本质的过程——出人意料的是,贝叶斯概率统计帮了我大忙。

请考虑两种类型的爱:有理由的爱无理由的爱。这两种爱情究竟意味着什么?这世上真的存在无理由的爱吗?如果真的存在,那么它符合理性吗?为了搞清楚这种我们称之为“爱”的令人晕头转向的复杂情感,我将在“有理由/无理由的爱”和“有理由/无理由的信念强度”之间做一组对比。

这并不是说,我认为爱情是一种信念。我只是想通过比对有理由/无理由的信念这组参照,从中得出具有启发性的潜在有益类比。

信念的强度叫作置信度(credence)。我们可以用0到1之间的数值来表示置信度,0是完全不相信,1就是完全相信。不过,重要的一点是,这些数值不是一成不变的,每当有新的信息进入时,置信度也会随之改变。

比如说,我相信这篇文章是个爆款!我对此相当有信心,想想看,这篇文章的主题这么棒,网站读者群体这么大,有什么理由不火呢?所以,我的置信度在0.8左右。

无缘无故的爱:爱の数学推导

图源:Clipart Library

尽管我想不到任何这篇文章不火的理由,但还是做点假设,设想我收到了一些坏消息——或许编辑告诉我,他们将在发表这篇文章的时候贴上警告:“读了这篇文章,你会连倒7年霉。

有了这条新的信息,我就会把这篇文章火爆的置信度从0.8下调到0.4,毕竟我觉得,有些读者还是挺迷信的,他们为了不冒倒上7年霉的风险,宁可不看我对爱情的精辟见解。嗯,我完全理解。

但是,你应该如何根据已有的信息,去理性地改变自己的置信度,并将之调整到合理的数值呢?可以使用贝叶斯概率论来计算有理由的置信度(conditional credence)。如果评估某个置信度的过程与某条信息有关,也就是这条信念的强度对这条信息敏感,会随着这条信息而更新,那么我们就说,这是一个依赖于信息的有理由的置信度。听起来完全行得通吧?——有了新证据,我当然得及时改变信念的强度。

但如果我的置信度对证据完全没反应呢?如果这条信念坚如磐石不转移呢?这种情况就是置信度为1,换句话说,这是一条完全确信的信念,强到不能再强,也不会再有变化。它既不会变强(因为已经是最强),也不会随着证据而变弱(因为它根本不是建立在证据之上的)无论信息会对别人的信念造成何种影响,如果你的置信度为1,那你就会毫不动摇。正如贝叶斯统计告诉我们的那样,无论负面信息有多强,你的置信度就是1,它就是不会变。这么说来,置信度为1就真的完全不能改变了。

或者,会有意外?

无缘无故的爱:爱の数学推导

图源:Brain Pickings

以上所述的都是理性地改变置信度,在这种情况下,都是根据相关的信息来改变对某事的信念强度,这很理性。但是,我们也可以不理性地改变信念强度,甚至可以随机改变!有理由地做某事就是理性的行动,没理由地做某事就是不理性的行动。所以,虽然贝叶斯理论告诉我们,置信度1不能理性地改变,但或许它可以不理性地改变啊。接下来,我将展示如何把这个理论应用到理性的有理由之爱和不理性的无理由之爱上——无理由的爱就像是拥有置信度1。

理由的爱意味着什么呢?问问你自己,你为什么爱某个人?或许,她很善良、有趣,或者很聪明——你是有理由的!或许他有很多可爱的特质,你爱他就是因为他是这样可爱的人,因为他给你的感受正是如此可爱。所以,有理由的爱就是这样基于理由的爱,会随着这些理由的改变而改变。这就像是置信度落在了0和1之间,却不包括0和1。

你可能有点爱她,爱到0.3,或许很爱很爱她,爱到了0.9。也许开始的时候是0.3,但随着获得的信息越来越多,也就是你在他身上发现了越来越多正面特质,你对他的爱就会上升到0.9。或许,她干了什么伤害你的事儿(提供了更多的信息),那么爱的程度就会下降。如果你的情感强度会随着相关信息改变,哲学家就会说你理性。总结一下,理性之爱就是:理由越多,爱得越深;理由没了,爱也就没了。这种有理由的爱可以类比为0到1之间的置信度(不包括0和1),会随着证据的改变而改变。

无缘无故的爱:爱の数学推导

图源:Thinking Animation

而另一种情况,无理由的爱,则不会随着任何信息而改变,因为它根本不是建立在信息之上的。这就是没理由的爱,没有任何证据或信息能改变它。你为什么爱某人?没有为什么!正如男孩地带(Boyzone)和奥斯蒙家族(the Osmonds)在歌中唱的那样:“不要把爱当成玩闹,女孩/让我成为你的真命天子,女孩/给一个爱我的理由/那个理由就是爱。”【译者注,这两个乐队有一首同名歌曲《给我一个爱的理由》(Love Me For A Reason),本段选自男孩地带的那首。】

如果这类“为什么”的问题除了爱本身没有别的答案,如果你的爱不依赖任何外物,如果你的爱不随任何事情而改变,那这就是无条件的爱。这种爱本身就有一种不可触及的不理性本质。就像置信度1一样,它只可不理性地改变——因为它不遵守任何贝叶斯定律,不会随着证据而改变。

强烈如置信度1一般的爱不会因为任何原因而小于1,因为它是无条件的,不会响应任何状况。你陷入或者脱离这种无条件的爱,都要听凭爱情本身处置,别无他法。当这种没来由的爱突如其来地击中你,那它就能一直持续下去,不会因为任何负面的理由、证据或信息而有一丝动摇。这就是不顾一切的爱,比起有理由的爱,它不会被任何理由改变。正如莎士比亚所说:“若是遇有变节的机会就改变,爱就不是爱。”但这并不意味着稳定!这种爱只是脱离了你的控制,会毫无理由地消失!(真的,毫无理由地消失就是这种爱消失的唯一方式!)

说了这么多,我并不是意在证明一种爱比另一种爱更有价值——毕竟,我们珍视理性之爱的过程,也向往不顾一切的爱之极致。基于证据、步步为营地走向有条件之爱更为可控,而且也正如贝叶斯理论的类比那般更为理性。但是,这种有理由之爱的理性增长,最后能臻至无理由之爱的极致吗?它能够通过理性最后抵达置信度1吗?如果不能的话,那么在一场“因为”某种原因的恋爱里,你就牢牢地把自己限制住了,永远不能抵达无理由之爱的“无限风光在险峰”。这种爱就跟置信度1一样本自具足、确定无疑、不可动摇。

无缘无故的爱:爱の数学推导

图源:Monster GIF

这里给出了证明,仅供数学家一哂。

通过新条件来更新置信度的公式如下所示:

Cr更新(p)=Cr初始(p|e)

Cr是置信度。

p是某个命题或事件,Cr(p)就是p发生的概率,数值在0到1之间。

e是作为证据的某个命题或事件,Cr(e)就是e发生的概率,数值在0到1之间。

下角标“更新”的意思是,当考虑到新证据e之后,“初始”置信度变成了“更新”置信度。

下角标“初始”就代表还没有新证据e之前的“初始”置信度。

p和e之间的竖线“|”可以读作“基于新的条件”。

那么我们如何计算Cr初始(p|e)呢?就像这样:

Cr(p|e) = Cr(ep)/Cr(e)

如果p的置信度为1,那么无论e的置信度有多大,p的置信度也不会有变化。

可以通过如下方法证明:先假设Cr初始(p)=1,然后证明Cr更新(p)只能等于1。

如果Cr(p)=1,那么有定理Cr(e)=Cr(ep)

这一定理是根据概率的第三公理“可加性”得来的

e等价于(e∩p)∪(e∩¬p)

所以,Cr(e)=Cr(e∩p)+Cr(e∩¬p)

所以,很明显Cr(e∩¬p)=0

再次使用“可加性”公理,推导可得:

Cr(¬p)=Cr(e∩¬p)+Cr(¬e∩¬p)

既然我们规定Cr(p)=1,那么必定有Cr(¬p)=0

所以,既然Cr(e∩¬p)与Cr(¬e∩¬p)之和为0,而它们又都是非负数,那么二者必定都为0

这么一来,Cr(e)=Cr(e∩p)+Cr(e∩¬p) 中的Cr(e∩¬p)=0

所以,Cr(e)=Cr(e∩p)

利用这个结果,就能证得结论:

Cr(p|e)= Cr(e∩p)/Cr(e)=1

已知Cr更新(p)=Cr初始(p|e),而刚刚已证明Cr初始(p|e)=1,

那么当Cr初始(p)=1时,对于任何e,

只要Cr(e)≠0,就有Cr更新(p)=1

所以,置信度1是理性上不可动摇的。无条件的爱也是如此。谁说数学里没有浪漫呢?

这个想法是某个项目的一部分。该项目受到了欧洲研究委员会的资助,资金来源于欧盟的《地平线2020研究和创新计划》,基金项目号679586。

本文作者苏琪·芬恩(Suki Finn)是英国南安普顿大学哲学系的博士后研究员,研究项目为欧洲研究委员会资助的《更好地理解怀孕的形而上学》(Better Understanding the Metaphysics of Pregnancy)。她的研究领域还有形而上形而上学(metametaphysics)和逻辑哲学,已经在各种哲学刊物上发表了自己的研究成果。

原文始发于微信公众号(利维坦):无缘无故的爱:爱の数学推导